El sentido cuántico II: Paradojas

Un perro saltando por un anillo de fuego, Queensland | George Jackman, State Library of Queensland | Dominio público

Las paradojas son emocionantes. Son una espiral en la que se ha de entrar solo. No puede compartirse su encanto con otra persona. Son un desafío directo, íntimo, intransferible. Cuando algo necesita toda nuestra atención y nadie puede ayudarnos, es casi seguro que estemos frente a un círculo vicioso o a una paradoja. También podría ser que estuviéramos ante el laberinto del Minotauro o la destrucción de Medusa, que, si bien no son paradojas, comparten con ellas al menos una característica: la solución siempre implica un cambio profundo en el sistema, una revolución, un rey caído, un mundo entendido o explicado de manera radicalmente nueva. Una paradoja es una espiral sin fin, y por eso para salir de ella hay que salir del mundo y crear uno nuevo. Cuando llega una paradoja, después de un rato recreándonos ingrávidos en su dulce sinsentido, nos frotamos las manos porque anuncia un nuevo orden y una perspectiva distinta, una referencia a estrenar, un sistema bien definido que nos ayuda y nos saca de la corriente. Una paradoja anuncia un orden nuevo. Y como orden nuevo, puede que implique cosas para las que no estamos en absoluto preparados…

El nuevo orden en los números

Una de las paradojas matemáticas más famosas es la paradoja de Cantor (Georg Cantor, padre de la teoría de conjuntos, la descubrió en 1899), que comienza proponiendo llamar C al conjunto de todos los conjuntos. Por ahora nada amenaza la calma. Un conjunto es algo que todos entendemos intuitivamente, y el conjunto de todos los conjuntos parece un objeto inofensivo. Ahora viene la pregunta que tras un rato de reflexión nos pone el casco y el escudo, la capa, las sandalias de tiras, borra todo el mundo alrededor y nos deja frente a ella con todo el peso de la responsabilidad sobre los hombros: ¿Cuál es el tamaño de C? Bien, como C contiene todos los conjuntos, es el conjunto más grande posible. En concreto C se contiene a sí mismo, lo cual no es un problema para la lógica, y también contiene todos los conjuntos que pueden formarse con elementos de C, ¡lo cual sí es un problema, porque el conjunto de los subconjuntos de cualquier conjunto es siempre mayor que él! Los Beatles son cuatro, pero el conjunto de subconjuntos formados con elementos de los Beatles es mayor que cuatro: John con Paul, Paul con Ringo, Ringo con George, George con John y Paul… así hasta quinze conjuntos musicales posibles ­no todos igual de prometedores que el original, es cierto. Luego ¡C es más grande que sí mismo y C también es más pequeño que sí mismo! ¡No se puede imaginar nada más paradójico! Ser más grande que uno mismo ya es lo suficientemente extraordinario para entrar en el mundo de los objetos imposibles, como para encima ¡ser a la vez más grande y más pequeño que uno mismo! O quizá más dramático: ¡ser a la vez más grande y más pequeño que otra cosa es lo suficientemente extraordinario para entrar en el mundo de los objetos imposibles, como para que encima esa cosa sea uno mismo! Bueno, ¡suficiente recreo ingrávido! Vamos a la solución que implicará un cambio de perspectiva, un nuevo orden, un rey caído que da paso a otro rey: solucionamos la paradoja declarando que C, el conjunto de todos los conjuntos, no existe.

The Beatles. Nueva York, 1964 | Library of Congress | Domini públic

La verdad es que como cambio radical parece un poco decepcionante. ¿Qué rey cae si decimos que no existe el conjunto de todos los conjuntos? ¿Qué giro en la perspectiva? ¿Qué orden novedoso? Pero solo es decepcionante a primera vista. La revolución que aguarda tras la paradoja de Cantor consiste en adquirir la capacidad (nueva) de prohibir la existencia de ciertos conjuntos. Que un conjunto tenga buena apariencia, que su construcción sea intuitiva deja de ser un criterio para aceptar su existencia. Esta capacidad de emitir certificados de validez para conjuntos (avalada por la proliferación de paradojas y antinomias en varios campos matemáticos) derivó en la formalización y la axiomatización del mismísimo razonamiento matemático, que hasta el momento solo existía para formalizar otras cosas. Lo que a su vez produjo una crisis de fundamentos y como consecuencia una serie de problemas de apariencia circular de los que desgraciadamente no podemos salir. Una vez axiomatizado el sistema formal creado para hablar de un mundo con propiedad y evitar contradicciones, estos axiomas son incapaces de producir o revisar todas las verdades de ese mundo. En resumen: una paradoja provocó una revolución que derivó en la demostración sin ambigüedades de que el alcance del conocimiento matemático no es tan grande como creíamos. Es decir, que la capacidad para formalizar e inspeccionar la verdad en el mundo de los números tiene un límite. Sea como sea de fuerte un sistema validador de sentencias, si queremos que no albergue pozos que nos lleven a contradicciones, siempre existirá una proposición verdadera que escape de su competencia.

La intención del párrafo anterior es demostrar (1) que algunos tipos de paradojas están basados en errores de la intuición, en asunciones demasiado generosas sobre nuestros objetos de estudio; (2) que su resolución está relacionada con una nueva definición, una reconsideración sobre la naturaleza de tales objetos, y (3) que una vez adoptado el nuevo sistema, es recomendable que nos preparemos para algunas sorpresas más. Por último, el párrafo anterior sirve como preparación para las paradojas de la física cuántica, que también nacieron de un choque con la intuición o con el orden establecido y derivaron en una crisis de fundamentos. Solo que esta vez la crisis no se declaró en el mundo que ordena los números –objetos más o menos abstractos según la posición filosófica de cada cual–, sino en el mundo que ordena las cosas que tocamos y las cosas que somos.

El nuevo orden en los átomos

En la historia de la física cuántica existen tres tipos de paradojas: las que desafían a la física clásica; las que desafían a la intuición y al sentido común, y las que desafían a la misma física cuántica.

Las primeras evidencian que la física clásica falla en algunas predicciones; las segundas evidencian que las intuiciones nacidas de nuestro contacto con el mundo fallan en algunas predicciones, y las terceras (construidas para testear la consistencia de la nueva teoría) no sabemos aun bien qué evidencian, pero con esos términos auguramos que la tierra temblará.

Las primeras se resuelven con un cambio de teoría; las segundas se resuelven con un giro copernicano en ciertas preconcepciones sobre los objetos físicos y sus propiedades; las terceras insisto en que no sabemos bien cómo tratarlas, ya que el giro copernicano que nos acaba de ofrecer un nuevo orden de cosas libre de atentados contra la intuición nos deja con que ese nuevo orden de cosas impone restricciones importantes sobre el límite de lo que podemos llegar a conocer.

Ejemplos de paradojas de tipo 1 o «choque de realidad»

Un ejemplo del primer tipo de paradojas es la estabilidad de los átomos. En efecto, la física clásica no es capaz de explicar cómo es posible que los átomos sean estables. Es decir, no es capaz de explicar que todas las cosas estemos aquí. La física clásica describe los átomos como un sistema de núcleos positivos y electrones girando alrededor. Pero según la misma física, cualquier carga en movimiento emite energía (un ejemplo es una antena de radio). Por lo tanto, un electrón moviéndose alrededor de un átomo debería perder su energía y caer al núcleo. Como eso no es lo que se observa, la predicción de la física clásica falla en ese punto y se impone una nueva teoría. La nueva teoría propone, como solución a la paradoja, que los electrones no giran alrededor del núcleo, sino que se encuentran en algún lugar cercano al núcleo en ciertos estados estables de energía, sin que estén determinadas exactamente su posición y su velocidad en cada momento. Así se evita describir el electrón de un átomo como «una carga que se mueve a velocidad definida y a cierta distancia del núcleo» y se le describe como lo que se deduce de la observación siguiente: «una carga que se encuentra cerca del núcleo y que no pierde energía». «Dónde está» o «qué velocidad tiene», con todo lo que tienen de intuitivo, pierden importancia como descripción primordial del electrón. Por el contrario, el «estado estable de energía», como concepto físico, no es en absoluto intuitivo, pero es necesario para satisfacer la observación. Esta solución ad hoc, que emborrona los conceptos de posición y velocidad, derivará entre otras cosas en las relaciones de incertidumbre de Heisenberg. El producto de las incertidumbres de la posición y la velocidad de un objeto cuántico es siempre superior a cierto número, la constante cuántica de Planck: no se pueden saber con precisión infinita la posición y la velocidad de una partícula simultáneamente. Pero, de nuevo, la intención de estos cambios fue poder explicar una observación incontestable: la estabilidad de los átomos.

Otro ejemplo de paradoja del primer tipo es la catástrofe ultravioleta. Según la física clásica, todo cuerpo en equilibrio térmico con su entorno absorbe o emite energía en forma de radiación electromagnética, de manera que a cada modo de vibración le toca una cierta cantidad de energía. Es como si tuviera que sonar una cierta cantidad de música en cada nota. Es el principio de equipartición de la energía, según el cual a cada modo le toca una energía igual a k·T (constante de Boltzman multiplicada por la temperatura). Pero entonces, ¿cómo es que no irradiamos una cantidad infinita de energía? En concreto, ¿cómo es que no somos fuentes de luz, de rayos ultravioleta, de rayos X? Para solucionar la paradoja, la nueva física impuso que la energía irradiada en cada frecuencia no podía ser arbitrariamente pequeña, sino que venía dada en paquetitos mínimos, que llamaron quanta (quantum, en singular), de tamaño proporcional a su frecuencia (de nuevo la proporcionalidad es la constante de Planck). Cuando el cuanto de energía mínima para un modo es mayor que k·T (la energía que le correspondería emitir al cuerpo en ese modo), no puede existir emisión en esa frecuencia. El término quantum es el origen del nombre que tomó la nueva teoría cuando estuvo consolidada: la física cuántica. Posteriormente, al cuanto de energía electromagnética se le llamó fotón.

Si lo que hay que aceptar para explicar el mundo es que los valores de la energía están cuantizados y que las propiedades (posición, velocidad) de las partículas cuánticas no están determinadas al mismo tiempo, parece un buen trato. El mundo parece un lugar un poco más raro, pero, al fin y al cabo, entendible.

Ejemplos de paradojas de tipo 2 o «choque contra la intuición»

Sin embargo, de este trato surgen las paradojas del segundo tipo, que son las que, una vez aceptados los términos de la nueva teoría, presentan situaciones que chocan con el sentido común. La resolución de estas paradojas sí necesita un giro copernicano.

Un ejemplo es el experimento de la doble rendija. Si aceptamos que la luz, la radiación electromagnética visible, está cuantizada y formada por una serie de «paquetes indivisibles» llamados fotones, ¿cómo podemos explicar las franjas de interferencia que observamos cuando la hacemos pasar por una doble rendija abierta en una pared? Si la luz es una onda, entendemos bien la interferencia; observamos fenómenos similares en el agua. Pero si aceptamos que la luz está formada por fotones individuales, tenemos que concluir que el fenómeno de la interferencia ocurre a nivel individual, y que un mismo fotón pasa por las dos rendijas al mismo tiempo e interfiere consigo mismo para dar lugar a ese patrón de franjas característico. Esta paradoja se puede resolver con el siguiente giro copernicano: hay que distinguir entre el estado del fotón (la información que lo describe) y la lista de sus propiedades observables. Arriba ya lo hemos apuntado, pero ahora tenemos que aceptarlo con todas sus consecuencias. Es un giro copernicano porque en física clásica la información que contiene un objeto coincide con la lista de sus propiedades observables. Pero en física cuántica, es posible que el estado del fotón esté perfectamente determinado y aun así la propiedad observable «qué camino ha tomado el fotón» no emerja hasta después de llevar a cabo un experimento para averiguarlo. Si un fotón puede encontrarse en el camino 1, y también puede encontrarse el camino 2, entonces también es posible para él estar en un estado de superposición de los dos caminos. Mientras no hagamos un experimento para determinar el camino que ha tomado, el fotón «tomará los dos caminos a la vez», e interferirá consigo mismo. En el momento en que colocamos un detector en las rendijas para saber por cuál ha pasado, el fotón «decide» uno de los dos caminos y la interferencia se destruye.

La superposición (o el entrelazamiento, del que hablaremos en próximas entregas) es un fenómeno que desafía la intuición construida mediante el contacto con el mundo macroscópico, pero podemos llegar a plantear un giro copernicano para construirnos una intuición nueva. El giro nos invita a no concentrar la tarea de la física en la descripción de los objetos (átomos, electrones, fotones…) y sus propiedades. En su lugar, plantea que las unidades fundamentales del mundo son los bits de información contenida en esos objetos, y que la tarea de la física cuántica es determinar cuáles son las reglas para acceder, copiar y transmitir esa información.

Ejemplos de paradojas de tipo 3 o «prueba de estrés de la teoría»

Una vez adoptada la revolución copernicana, aparece el tercer tipo de paradojas, las diseñadas para testear el cambio de paradigma que propone la cuántica. Una de ellas es la paradoja de Einstein-Podolsky-Rosen, de la que nos ocuparemos en el futuro, ya que la solución es aceptable dentro del sistema, y además nos obligaría a hablar de entrelazamiento –y ya bastante enredado tenemos esto.

En este contexto, es más interesante la paradoja «prueba de estrés» del gato de Schrödinger. Es interesante porque no está claro cómo vamos a salir de ella, ni si vamos a salir de ella. La paradoja de Schrödinger es un órdago a la grande a la doble rendija. Aceptemos que un fotón pueda pasar por dos sitios a la vez. Hemos dicho que solucionamos la paradoja proponiendo que, antes de la medida, las propiedades (por qué rendija ha pasado el fotón) no están determinadas. Y que solo emergen cuando ponemos un detector. Pero, pregunta Schrödinger, ¿qué característica privilegiada tiene el detector para hacer que el fotón decida su camino? ¿Y si no miramos el detector? ¿Y si el camino que toma el fotón está de alguna manera conectado con una propiedad de otro objeto –digamos un gato– que no tiene sentido que pueda tener dos valores a la vez –digamos estar vivo y muerto–? Si el camino 1 provoca la emisión de un veneno y el camino 2 no, y encerramos todo el experimento en una caja en la que metemos un gato, la superposición del fotón mantenida por el hecho de que no miramos por qué camino va se contagia a la del gato. El problema que evidencia la paradoja, el problema de la medida, es que no sabemos en qué momento, en virtud de qué, un fotón o cualquier otra partícula cuántica «decide» abandonar su superposición y decantarse por una de las posibilidades. ¿Cómo separamos un sistema cuántico del aparato que lo mide? ¿Cuál es el límite entre lo clásico y lo cuántico?

Esta pregunta no está resuelta, no está claro que sea una paradoja resoluble más que una demostración de que no podemos describir el mundo de manera definitiva. No hay un límite evidente para el tamaño máximo de un «gato de Schrödinger».

Pero he aquí la buena noticia. ¡No hay un límite evidente para el tamaño máximo de un «gato de Schrödinger»! ¡Eso implica que objetos cada vez más grandes pueden estar en superposición cuántica! ¡Nada fundamental lo impide! Afinemos bien nuestros tornillos, y preparémonos entonces para dar la bienvenida a gatos de Schrödinger en forma de ordenadores cuánticos, medidores más allá de los límites de la precisión, métodos de mensajería 100% seguros… ¡objetos macroscópicos gozando de las características cuánticas de las partículas pequeñísimas!

«On the banks of the Rhine, a beautiful castle had been standing for centuries. In the cellar of the castle, an intricate network of webbing had been constructed by industrious spiders who lived there. One day a strong wind sprang up and destroyed the web. Frantically, the spiders worked to repair the damage. They thought it was their webbing that was holding up the castle.»

Morris Kline, Mathematics. The Loss of Certainty (1980)