El sentit quàntic II: Paradoxes

Un gos saltant per un anell de foc, Queensland | George Jackman, State Library of Queensland | Domini públic

Les paradoxes són emocionants. Són una espiral en la qual s’ha d’entrar sol. No podem compartir l’encant que presenten amb ningú. Són un desafiament directe, íntim, intransferible. Quan una cosa ens reclama tota l’atenció i no ens pot ajudar ningú, és gairebé segur que som davant d’un cercle viciós o davant d’una paradoxa. També podria ser que fóssim al laberint del Minotaure o davant la destrucció de Medusa, fets que, si bé no són paradoxes, hi comparteixen com a mínim un tret: la solució sempre implica un canvi profund en el sistema, una revolució, un rei caigut, un món entès o explicat de manera radicalment nova. Una paradoxa és una espiral sense fi, i per això per sortir-ne cal sortir del món i crear-ne un de nou. Quan topem amb una paradoxa, un cop hem passat una estona recreant-nos, ingràvids, en la dolçor de l’absurd, ens freguem les mans perquè sabem que s’anuncia un ordre nou, una perspectiva distinta, una referència per estrenar, un sistema ben definit que ens ajuda i ens treu del corrent. Una paradoxa anuncia un ordre nou. I, com a tal, pot ser que impliqui coses per a les quals no estem gens a punt…

El nou ordre en els números

Una de les paradoxes matemàtiques més famoses és la paradoxa de Cantor (George Cantor, pare de la teoria de conjunts, la va descobrir el 1899), que comença proposant d’anomenar C el conjunt de tots els conjunts. De moment, tot en ordre. Un conjunt és una cosa que tots entenem intuïtivament, i el conjunt de tots els conjunts sembla un objecte inofensiu. Però ara arriba la pregunta que, després d’una estona de reflexió, ens posa el casc, l’escut, la capa i les sandàlies de tires i esborra tot el que ens envolta, i nosaltres hi restem palplantats al davant, carregant tot el pes de la responsabilitat a les espatlles. De quina mida és C? Bé, com que C conté tots els conjunts, és el conjunt més gros de tots. En concret, C es conté a si mateix, la qual cosa no és un problema per a la lògica, i també conté tots els conjunts que poden formar-se amb elements de C, i això sí que és un bon problema, perquè el conjunt dels subconjunts de qualsevol conjunt és sempre superior al conjunt! Els Beatles són quatre, però el conjunt de subconjunts formats per elements dels Beatles és superior a quatre: en John amb en Paul, en Paul amb en Ringo, en Ringo amb en George, en George amb en John i en Paul… i així fins a obtenir quinze conjunts musicals possibles –els uns més prometedors que els altres, certament. Per tant, C és més gran que si mateix i C també és més petit que si mateix! Quina cosa més paradoxal! Ser més gran que un mateix ja és prou extraordinari per entrar al món dels objectes impossibles; només faltava ser més gran i alhora més petit que un mateix! Dit més dramàtic: ser més gran i alhora més petit que una cosa ja és prou extraordinari per entrar al món dels objectes impossibles, perquè a sobre aquesta cosa sigui un mateix! Bé, ja n’hi ha prou, de tant d’esbarjo ingràvid. Busquem la solució que implicarà un canvi de perspectiva, un ordre nou, un rei caigut que dona pas a un altre rei: solucionem la paradoxa declarant que C, el conjunt de tots els conjunts, no existeix.

The Beatles. Nova York, 1964 | Library of Congress | Domini públic

La veritat és que, com a canvi radical, és una mica decebedor. Quin rei cau si diem que el conjunt de tots els conjunts no existeix? Quin canvi de perspectiva hi ha? Quin ordre innovador s’imposa? El fet, però, és que només és decebedor a primera vista. La revolució que ens espera rere la paradoxa de Cantor consisteix a adquirir la capacitat (nova) de prohibir l’existència de certs conjunts. Que un conjunt tingui una aparença correcta, que es pugui construir intuïtivament, deixa de ser un criteri per acceptar-ne l’existència. Aquesta capacitat d’emetre certificats de validesa per a conjunts (avalada per la proliferació de paradoxes i antinòmies en diversos camps matemàtics) va derivar en la formalització i l’axiomatització del mateix raonament matemàtic, que fins aleshores només existia per formalitzar altres coses. I això, alhora, va produir una crisi de fonaments i en conseqüència una sèrie de problemes d’aparença circular dels quals, per desgràcia, no podem sortir. Un cop axiomatitzat el sistema formal per parlar d’un món amb propietat i evitar contradiccions, resulta que els axiomes són incapaços de produir o revisar totes les veritats d’aquest món. Ras i curt: una paradoxa va provocar una revolució que va derivar en la demostració sense ambigüitats que l’abast del coneixement matemàtic no és tan ampli com ens pensàvem. És a dir, que la capacitat de formalitzar i inspeccionar la veritat en el món dels números té un límit. Sigui quina sigui la fortalesa del sistema validador de sentències, si volem que no contingui pous que ens menin a contradiccions hem d’assumir que sempre hi haurà una proposició certa que escaparà a la seva competència.

La intenció del paràgraf anterior és demostrar (1) que algunes menes de paradoxes estan basades en errors d’intuïció, en assumpcions massa generoses sobre els nostres objectes d’estudi; (2) que la resolució de les paradoxes es relaciona amb una nova definició, amb una reconsideració de la naturalesa d’aquests objectes, i (3) que un cop adoptat el nou sistema, més val que ens preparem per a noves sorpreses. Finalment, el paràgraf anterior serveix de preparació per a les paradoxes de la física quàntica, que també van néixer d’un xoc amb la intuïció o amb l’ordre establert i van derivar en una crisi de fonaments. El que passa, però, és que aquest cop la crisi no es va declarar en el món que endreça els números –objectes més o menys abstractes, en funció de la posició filosòfica de cadascú–, sinó en el món que endreça les coses que toquem i les coses que som.

El nou ordre en els àtoms

En la història de la física quàntica hi ha tres menes de paradoxes: les que desafien la física clàssica; les que desafien la intuïció i el sentit comú, i les que desafien la mateixa física quàntica.

Les primeres evidencien que la física clàssica falla en algunes prediccions; les segones evidencien que les intuïcions nascudes del contacte amb el món fallen en algunes prediccions, i les terceres (construïdes per sotmetre a prova la consistència de la nova teoria) no sabem bé què evidencien, però amb aquests termes endevinem que ja ens podem calçar.

Les primeres es resolen amb un canvi de teoria; les segones es resolen amb un gir copernicà en certes preconcepcions sobre els objectes físics i les seves propietats; les terceres, hi insisteixo, no sabem ben bé com s’han de tractar, perquè el gir copernicà que ens brinda un nou ordre de coses lliure d’atemptats contra la intuïció implica, també, que aquest nou ordre de coses imposi restriccions importants en el límit del que podem arribar a conèixer.

Exemples de paradoxes del tipus 1 o «xoc de realitat»

Un exemple del primer tipus de paradoxes és l’estabilitat dels àtoms. En efecte, la física clàssica no és capaç d’explicar com és possible que els àtoms siguin estables. És a dir, no és capaç d’explicar que totes les coses siguem aquí. La física clàssica descriu els àtoms com un sistema de nuclis positius i d’electrons que hi giren al voltant. Però, d’acord amb la mateixa física, qualsevol càrrega en moviment emet energia (una antena de ràdio, per exemple). Per tant, un electró que es mou al voltant d’un àtom hauria de perdre energia i caure al nucli. Com que això no és pas el que s’observa, en aquest punt la predicció de la física clàssica falla i s’imposa una nova teoria. Aquesta nova teoria proposa, com a solució a la paradoxa, que els electrons no giren al voltant del nucli, sinó que són en algun lloc proper al nucli en certs estats estables d’energia, sense que ni la posició ni la velocitat que tenen estiguin determinades exactament. Així evitem descriure l’electró d’un àtom com «una càrrega que es mou a velocitat definida i a certa distància del nucli», i el descrivim com el que es dedueix de l’observació que és «una càrrega que es troba prop del nucli i que no perd energia». «On és» o «quina velocitat té» són preguntes que, si bé intuïtives, perden importància com a descripció primordial de l’electró. En canvi, l’«estat estable d’energia», com a concepte físic, no és gens intuïtiu, però és necessari per satisfer l’observació. Aquesta solució ad hoc, que esborralla els conceptes de posició i velocitat, derivarà, entre altres coses, en les relacions d’incertesa de Heisenberg. El producte de les incerteses sobre la posició i la velocitat d’un objecte quàntic és sempre superior a cert número, la constant quàntica de Planck: no es poden saber amb precisió infinita la posició i la velocitat d’una partícula simultàniament. De nou, però, la intenció d’aquests canvis és poder explicar una observació incontestable: l’estabilitat dels àtoms.

Un altre exemple de paradoxa del primer tipus és la catàstrofe ultraviolada. Segons la física clàssica, tot cos en equilibri tèrmic amb l’entorn absorbeix o emet energia en forma de radiació electromagnètica, de manera que per a cada tipus de vibració hi ha certa quantitat d’energia. És com si hagués de sonar una certa quantitat de música en cada nota. És el principi d’equipartició de l’energia, segons el qual per a cada mode hi ha una energia igual a k·T (constant de Boltzman multiplicada per temperatura). Però, llavors, com és que no irradiem una quantitat infinita d’energia? Concretament, com és que no som fonts de llum, de raigs ultraviolats, de raigs X? Per solucionar la paradoxa, la nova física va establir que l’energia irradiada en cada freqüència no podia ser arbitràriament petita, sinó que venia en paquetets mínims, que es van anomenar quanta (quantum, en singular) i que eren de mida proporcional a la seva freqüència (un cop més, la proporcionalitat és la constant de Planck). Si el quàntum d’energia mínima per a un mode és superior a k·T (l’energia que el cos hauria d’emetre en aquell mode), no hi pot haver emissió en aquella freqüència. El terme quantum és l’origen del nom que va prendre la nova teoria un cop consolidada: la física quàntica. Posteriorment, el quàntum d’energia electromagnètica es va anomenar fotó.

Si el que cal acceptar per explicar el món és que els valors de l’energia estan quantitzats i que les propietats (posició, velocitat) de les partícules quàntiques no estan determinades alhora, el tracte sembla prou just. El món sembla un lloc un xic més estrany, però comprensible, al capdavall.

Exemples de paradoxes del tipus 2 o «xoc amb la intuïció»

Això no obstant, és d’aquest tracte que sorgeixen el segon tipus de paradoxes, que són les que, un cop acceptats els termes de la nova teoria, presenten situacions que xoquen amb el sentit comú. La resolució d’aquestes paradoxes sí que demana un gir copernicà.

Un exemple d’això és l’experiment de la doble escletxa. Si acceptem que la llum, la radiació electromagnètica visible, està quantitzada i formada per una sèrie de «paquets indivisibles» anomenats fotons, com podem explicar les franges d’interferència que observem quan la fem passar per una doble escletxa oberta en una paret? Si la llum és una ona podem entendre bé la interferència; observem fenòmens similars en l’aigua. Però si acceptem que la llum està formada per fotons individuals, hem de concloure que el fenomen de la interferència s’escau de manera individual, i que un mateix fotó passa per totes dues escletxes a la vegada i interfereix en si mateix per donar lloc a aquest patró de franges característic. Aquesta paradoxa es pot resoldre amb el gir copernicà següent: cal distingir entre l’estat del fotó (la informació que el descriu) i la llista de les seves propietats observables. Això ja ho hem apuntat més amunt, però ara hem d’assumir-ho amb totes les conseqüències. És un gir copernicà perquè en física clàssica la informació que conté un objecte coincideix amb la llista de les propietats observables que presenta. En física quàntica, però, és possible que l’estat del fotó estigui perfectament determinat i que, tot i això, la propietat observable «quin camí ha fet el fotó» no emergeixi fins després d’haver dut a terme un experiment per resoldre-ho. Si un fotó pot ser al camí 1 i també pot ser al camí 2, aleshores també és possible que es trobi en un estat de superposició d’ambdós camins. Fins que no fem l’experiment per determinar quin camí ha triat, el fotó «farà tots dos camins alhora» i interferirà en si mateix. En el moment que col·loquem un detector a les escletxes per saber per quin ha passat, el fotó «es decideix» per un dels dos camins i la interferència es destrueix.

La superposició (o l’entrellaçament, del qual parlarem en les entregues vinents) és un fenomen que desafia la intuïció construïda mitjançant el contacte amb el món macroscòpic, però podem arribar a plantejar un gir copernicà per construir-nos una intuïció nova. El gir ens convida a no concentrar la tasca de la física en la descripció dels objectes (àtoms, electrons, fotons…) i les seves propietats. En comptes d’això, planteja que les unitats fonamentals del món són els bits d’informació continguda en aquests objectes, i que la feina de la física quàntica és determinar quines són les regles per poder accedir a aquesta informació, copiar-la i transmetre-la.

Exemples de paradoxes del tipus 3 o «prova de l’estrès de la teoria»

Un cop adoptada la revolució copernicana apareix el tercer tipus de paradoxa, la dissenyada per testar el canvi de paradigma que proposa la quàntica. N’hi ha una, la paradoxa d’Einstein-Podolsky-Rosen, de la qual ens ocuparem en el futur, perquè la solució és acceptable dins del sistema, i perquè això ens obligaria a parlar de l’entrellaçament –i déu-n’hi-do quin embolic, ara mateix.

En aquest context, resulta més interessant la paradoxa «prova d’estrès» del gat de Schrödinger. És interessant perquè no queda clar com ens en sortirem, ni si ens en sortirem. La paradoxa de Schrödinger és jugar-s’ho tot a la carta més alta davant la doble escletxa. Hem assumit que un fotó pot passar per dos llocs alhora. Hem dit que solucionàvem la paradoxa proposant que, abans de la mesura, les propietats (per quina escletxa ha passat el fotó) no estan determinades. I que només emergeixen quan hi posem un detector. Ara bé, es pregunta Schrödinger, quina és la característica privilegiada del detector que fa que el fotó es decideixi per un camí o per l’altre? I si no mirem el detector? I si el camí que agafa el fotó està connectat d’alguna manera amb una propietat d’un altre objecte –un gat, posem-hi– que no té sentit que pugui tenir dos valors alhora –estar viu i mort, posem-hi–? Si el camí 1 provoca l’emissió de verí i el camí 2 no, i tanquem tot l’experiment en una caixa dins la qual fiquem el gat, la superposició del fotó, mantinguda pel fet que no mirem quin camí agafa, es contagia al gat. El problema que evidencia la paradoxa, el problema de la mida, és que no sabem en quin moment, en virtut de què, un fotó o qualsevol altra partícula quàntica «decideix» abandonar la posició que ocupava i decantar-se per una de les possibilitats. Com separem un sistema quàntic de l’aparell que el mesura? Quin és el límit entre el que és clàssic i el que és quàntic?

Aquesta pregunta no està resolta, i no és clar si és una paradoxa resoluble o si més aviat es tracta de la constatació que no podem descriure el món de manera definitiva. No hi ha un límit evident en la mida màxima d’un «gat de Schrödinger».

Heus aquí, però, la bona notícia. No hi ha un límit evident en la mida màxima d’un «gat de Schrödinger»! Això implica que hi ha tota una sèrie d’objectes cada cop més grossos que poden estar en superposició quàntica! Sense cap impediment fonamental! Esmolem les eines, i preparem-nos per donar la benvinguda a gats de Schrödinger en forma d’ordinadors quàntics, mesuradors que vagin més enllà dels límits de la precisió, mètodes de missatgeria 100% eficaços… objectes macroscòpics fruint de les característiques quàntiques de partícules minúscules!

«On the banks of the Rhine, a beautiful castle had been standing for centuries. In the cellar of the castle, an intricate network of webbing had been constructed by industrious spiders who lived there. One day a strong wind sprang up and destroyed the web. Frantically, the spiders worked to repair the damage. They thought it was their webbing that was holding up the castle.»

Morris Kline, Mathematics. The Loss of Certainty (1980)